Маленький почемучка

школа, вопросы, помощь, видео, уроки, з класс, окружающий мир,
 
ФорумФорум  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  ВходВход  
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск
Ключевые слова
пифогор инструкция лишайники маматов традиция знаки чурзина такое мальцева пифагор таро славянские мира список велислава кислота Матрица софья панфилов мурена крупнейших мешков судьбы руны софия северная
Последние темы
» ИЗУЧЕНИЕ ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ С НУЛЯ!
Вт Окт 10, 2017 7:45 pm автор Лира

»  Тайны Русского языка
Ср Авг 03, 2016 10:19 am автор Лира

» Великая Травница - Целительница - Советы
Вс Июл 03, 2016 12:41 pm автор Лира

» Полиглот. Выучим Английский за 16 часов!
Вт Июн 14, 2016 8:06 pm автор Лира

» Проценты.
Пт Май 06, 2016 8:03 pm автор Лира

» Умножение десятичных дробей
Пт Май 06, 2016 7:53 pm автор Лира

» Тест по русскому языку
Вт Апр 12, 2016 4:00 pm автор Лира

» История деградации азбуки.
Ср Мар 09, 2016 6:55 am автор Лира

» частица "не"
Вт Мар 08, 2016 6:47 pm автор Лира

» Частичка-волонтер
Вт Мар 08, 2016 6:45 pm автор Лира

» почему так нельзя говорить...
Вт Мар 08, 2016 6:42 pm автор Лира

» О магических свойствах русского мата..и не только....
Вт Мар 08, 2016 6:39 pm автор Лира

»  Как обращаться: на вы или на ты?
Вт Мар 08, 2016 6:35 pm автор Лира

» Спасибо или Благодарю?
Вт Мар 08, 2016 6:30 pm автор Лира

» Истинный смысл бранных слов
Вт Мар 08, 2016 6:20 pm автор Лира

» Сказ про букву Р..........а умным...напоминалка. Безопасность при работе с буквицей. Часть 1.
Вт Мар 08, 2016 6:15 pm автор Лира

» Почему мы так говорим?
Вт Мар 08, 2016 6:10 pm автор Лира

» Много англ.
Ср Мар 02, 2016 6:23 am автор Лира

» УЧИМСЯ ГОВОРИТЬ ПРАВИЛЬНО
Ср Мар 02, 2016 6:20 am автор Лира

» ЛОВИОТВЕТ-ПОШАГОВЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР В ПОМОЩЬ РОДИТЕЛЯМ, ШКОЛЬНИКАМ .
Вт Мар 01, 2016 7:55 am автор Лира

» Слово с суффиксом "чик": правила написания и примеры -
Сб Фев 20, 2016 3:47 pm автор Лира

» Анатомия человека: Строение слухового анализатора
Вс Янв 31, 2016 10:10 am автор Admin

»  Основные законы сложения и умножения
Ср Янв 20, 2016 9:06 pm автор Лира

» ТАЙНЫ РУССКОГО ЯЗЫКА.
Ср Янв 20, 2016 10:40 am автор Лира

» 850 СЛОВ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ
Чт Дек 31, 2015 6:02 am автор Лира

Январь 2018
ПнВтСрЧтПтСбВс
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031    
КалендарьКалендарь
Партнеры
Создать форум


Поделиться | 
 

 Переменные

Предыдущая тема Следующая тема Перейти вниз 
АвторСообщение
Admin
Admin
avatar

Сообщения : 346
Репутация : 0
Дата регистрации : 2012-11-06

СообщениеТема: Переменные   Пт Дек 05, 2014 3:01 pm

Переменные
Рассмотрим такую задачу: «Денис старше Матвея на 2 года. Сколько лет будет Денису, когда Матвею будет 10 лет?» Решить ее можно следующим образом:
10 + 2 = 12.
А интересно, сколько лет будет Денису, когда Матвею будет 11 лет? Решение в этом случае выглядит так:
11 + 2 = 13.
А если Матвею будет 12 лет? — Тогда так:
12 + 2 = 14.
Спрашивается, нельзя ли как-нибудь на все подобные вопросы ответить раз и навсегда в виде какого-нибудь правила? Оказывается можно:
(возраст Дениса) = (возраст Матвея) + 2.
Правила, записанные в виде равенств, называются формулами. Математикам очень часто приходится исписывать целые страницы разными равенствами и формулами, поэтому они стремятся делать их, по возможности, краткими. Математик предпочел бы написать следующим образом:
Д = М + 2,
а потом отдельно пояснить, что Д означает возраст Дениса, а М — возраст Матвея. Но и это не принесло бы ему полного удовлетворения. Математики предпочитают пользоваться буквами самого распространенного в мире алфавита — латинского. Вот запись, которая удовлетворила бы математика полностью:
d = m + 2.
Разумеется, как и ранее, к этой формуле необходимо еще приложить пояснения, что d — это возраст Дениса, а m — это возраст Матвея.
Итак, скажите мне, сколько лет Матвею, — и, глядя на эту формулу, я вам быстро отвечу, сколько лет Денису. Принято говорить: если m принимает значение 10, то d принимает значение 12. Или: если m = 10, то d = 12. Буквы, которые входят в математические выражения и которые могут принимать разные численные значения, называются переменными.
Мы уже довольно давно занимаемся математикой и успели за это время сделать кое-какие важные математические открытия. С помощью формул мы можем теперь эти открытия грамотно записать. Например, мы однажды заметили, что если поменять местами слагаемые, то значение суммы не изменится. В виде формулы это записывается следующим образом:
a + b = b + a,
где a и b — любые числа. Школьные учителя называют это «перестановочным свойством сложения». Лично мне такое словосочетание режет слух. Это примерно то же самое, что сказать: «оранжевое свойство апельсина». Перестановочным является, конечно, не свойство, а само сложение. А профессиональные математики используют тут и вовсе другое слово. Они говорят: сложение коммутативно.
Равенства, которые остаются верными при любых значениях входящих в них переменных, называются тождествами. Вот еще пример тождества:
a + (b + c) = (a + b) + c,
или, что то же самое,
a + (b + c) = a + b + c.
Это знакомое нам правило, по которому можно изменять порядок действий, или, как мы еще говорили, раскрывать скобки. У школьных учителей это называется «сочетательным свойством сложения». Грамотные же люди говорят: сложение ассоциативно.
Но, разумеется, не всякое равенство является тождеством. Зададимся вопросом: коммутативно ли вычитание? Можно ли написать так:
a − b = b − a?
Ну, написать-то так, пожалуй, можно: бумага, говорят, все вытерпит. Но вычитание, конечно же, некоммутативно, а значит, данное равенство не является тождеством. Убедиться в этом очень просто. Пусть, например, a = 2 и b = 1. Подставляем эти значения в равенство и получаем: «2 − 1 = 1 − 2». Ерунда какая-то! Но, с другой стороны, пусть a = 5 и b = 5. В этом случае равенство принимает вид: «5 − 5 = 5 − 5». Ну, что ж, спорить нечего, так оно и есть. Равенство, которые становятся верными лишь при некоторых значениях переменных, называются уравнениями.
Уравнениями очень удобно пользоваться при решении всевозможных математических задач. Вернемся к задаче про Дениса и Матвея: «Денис старше Матвея на 2 года. Каков будет возраст Дениса, d, когда Матвею будетm лет?» Мы твердо знаем, что Денис всегда останется старше Матвея на одно и то же число лет (такие неизменные величины называются инвариантами). Поэтому мы можем составить следующее уравнение:
d − m = 2.
Здесь две переменные, а именно d и m. Следует отметить, что роль этих переменных неодинакова. Предполагается, что численное значение переменной m нам известно. Если даже мы не знаем этого значения сейчас, то, вероятно, нам назовут его когда-нибудь потом. И уж, во всяком случае, его нахождение не входит в нашу задачу. Такие переменные называютсяпараметрами. В противоположность этому, о численном значении переменнойd нам никто никогда не собирается сообщать. Наша задача как раз и заключается в том, чтобы его найти. Такие переменные называютсянеизвестными.
Решить уравнение — это значит выписать формулу, по которой можно вычислить значение неизвестной, если нам скажут численное значение параметра. В данном случае решение — это
d = m + 2.
Давайте посмотрим, как мы пришли от исходного уравнения
d − m = 2.
к его решению. Ну, мы пристально посмотрели на уравнение, что-то прикинули в уме и выписали результат. Так делать, конечно, можно. Однако в математике разработаны особые методы, которые позволяют решать уравнения без особенного умственного напряжения. Тут очень удобно воспользоваться одним простеньким приемом.
Но сперва — небольшое отступление. Допустим, у Дениса в брюках есть два кармана, один слева, другой справа. В этих карманах лежат конфеты. Точное количество конфет нам неизвестно, но мы знаем, что в левом и правом карманах конфет поровну. Введем обозначения. Пусть L — это число конфет в левом кармане, а P — это число конфет в правом кармане. На основе имеющихся у нас сведений, мы можем составить уравнение:
L = P.
Далее события развиваются так. Денис положил в левый карман еще одну конфету и в правый карман еще одну конфету. Ясно, что в обоих карманах конфет снова оказалось поровну:
L + 1 = P + 1.
А что было бы, если бы Денис положил в каждый карман не по одной конфете, а по двум или трем или десяти? Ну, наши рассуждения тогда не сильно бы изменились. Просто в новом уравнении вместо «1» мы написали бы «2» или «3» или «10». Рассмотрим ситуацию, как говорят математики, в общем виде. Пусть Денис положил в каждый карман по k конфет. В обоих карманах конфет как было, так и осталось поровну. Значит,
L + k = P + k.
Заметим, что параметр k может даже быть отрицательным (то есть Денис не кладет конфеты, а, наоборот, берет их).
Тут напрашивается очень важный вывод. Оказывается, что если у нас есть какое-то уравнение, то к обеим его частям можно одновременно прибавить одно и то же число, и тогда уравнение, по своей сути, не изменится. Если при каких-то значениях переменных первое уравнение обращается в верное равенство, то при тех же самых значениях переменных обратится в верное равенство и второе уравнение. И наоборот, если обратилось в верное равенство второе уравнение, то и с первым уравнением случилось то же самое. Иными словами, оба уравнения имеют одинаковые решения. Профессиональные математики в этом случае говорят, что уравненияэквивалентны.
Вернемся теперь к задаче про возраст Дениса и Матвея. Мы получили уравнение
d − m = 2.
Прибавим теперь к обеим его частям параметр m:
d − m + m = 2 + m.
После очевидных упрощений новое уравнение принимает вид:
d = m + 2.
Вот и всё! Решение получено.
Рассмотрим теперь другую, но очень похожую задачу, в которой вопрос поставлен несколько по-другому: «Денис старше Матвея на 2 года. Каков будет возраст Матвея, m, когда Денису будет d лет?» Уравнение, которое можно составить по условию, оказывается по виду точно таким же, как и прежде:
d − m = 2.
Однако, на этот раз, переменная d является параметром, а переменная m — неизвестной. В таких случаях еще говорят, что уравнение требуется решить относительно переменной m. Такое решение находится лишь ненамного труднее предыдущего. Прибавим к обеим его частям вначале m, а потом (− 2):
d − m + m − 2 = 2 + m − 2.
После упрощений получаем:
d − 2 = m.
Тут стоит обратить внимание вот на что. В исходном уравнении переменная mбыла в левой части, и перед ней стоял знак минус. В конечном уравнении эта же переменная находится в правой части, и подразумевается, что перед ней стоит знак плюс. Говорят, что слагаемые в уравнениях можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком (то есть минус следует менять на плюс, а плюс — на минус). В данном случае, справедливость этого правила можно также проследить на числе 2. Вначале двойка стояла справа, и перед ней подразумевался знак плюс. А в конце она оказалась слева со знаком минус.
Теперь вспомним о задаче, которую мы решаем. В полученном уравнении осталось только поменять местами левую и правую часть — и ответ готов:
m = d − 2.
После того, как уравнение решено, полезно сделать так называемую проверку, то есть подставить найденное решение в исходное уравнение и посмотреть, что получится. Например, в данном случае, в исходном уравнении,
d − m = 2,
надо m заменить на (d − 2):
d − (d − 2) = 2.
И что же получилось? Ну, конечно, тождество! Если бы мы не получили тождества, это бы означало, что уравнение решено неверно.
Подобные же рассуждения применимы и к неравенствам. Рассмотрим, для примера, такую задачу. Сколько лет должно пройти, чтобы Матвею можно было официально смотреть фильмы для взрослых? Поскольку человек считается взрослым с 18-ти лет, мы должны записать:
m + x ≥ 18,
где m обозначает нынешний возраст Матвея, а — это число лет, которые ему надо подождать, чтобы его стали пускать в кинотеатр на сеансы для взрослых. Значок «≥» у математиков заменяет слова «больше или равно». Ясно, что если прибавить (или отнять) от обеих частей неравенства одно и то же число, то оно оcтанется по сути тем же самым. Или, говоря точнее, оно превратится в эквивалентное неравенство, которое имеет в точности то же самое решение, что и первоначальное. Отнимаем от обеих частей нашего неравенства число m и получаем:
x ≥ 18 − m.
Если Матвею сейчас, допустим, 12 лет, то
x ≥ 18 − m = 18  12 = 6,
или, окончательно:
x ≥ 6.
Таким образом, для того чтобы Матвей мог официально смотреть фильмы для взрослых, должно пройти 6 лет или больше.
Точно так же, нам может приготиться понятие «меньше или равно», которые обозначается значком «≤». Допустим, мы в составе группы из a человек дожидаемся лифта в многоэтажном доме. Грузоподъемность лифта ограничена 12-тью человеками, но, когда он подойдет, может оказаться, что в нем уже есть x человек. Спрашивается, каково должно быть значение x, чтобы вся наша группа зараз поместилась в лифте? Записываем:
a + x ≤ 12
и, применив наш обычный трюк, получаем:
x ≤ 12 − a.
Отметим заодно, что вся эта задача имеет смысл, только если численность нашей группы меньше или равна 12-ти человек:
a ≤ 12.
Посмотрим теперь, как ведут себя переменные в примерах на умножение и деление. Пусть требуется найти неизвестную переменную x в уравнении:
x/3 = 4.
По условию нашей задачи, x/3 и 4 — это одно и то же число, просто записанное двумя разными способами. Умножим-ка мы это число на 3. И результат тоже запишем по-разному:
3·(x/3) = 3·4.
После несложных вычислений получаем:
x = 12.
Решение уравнения найдено.
А теперь сможем ли мы решить такое уравнение (опять-таки относительно x)?
x = 20.
После деления обеих частей этого уравнения на 5 получаем:
x = 4.
А как насчет такого уравнения?
21/x = 3.
Это уравнение решается в два действия. Вначале умножаем обе его части наx:
21 = 3·x.
А потом делим на 3:
7 = x.
Теперь остается только для большей красоты поменять местами левую и правую части этого равенства:
 x = 7,
И решение окончательно готово.
Если после всего этого нам встретится неравенство с неизвестным, такое, например, как
> 10,
то мы, конечно, не растеряемся и тоже сможем легко найти его решение, потому что оно находится с помощью всё тех же самых трюков, что и в случае уравнений. Впрочем, тут надо сделать одну важную оговорку. Хотя мы уже и познакомились с отрицательными числами, умножением и делением на них мы пока еще не занимались. Покуда мы делим и умножаем только на положительные числа, все рассмотренные тут трюки прекрасно работают в одинаковой степени как для равенств, так и для неравенств. Но когда мы перейдем к умножению и делению на отрицательные числа, тогда у неравенств обнаружатся кое-какие особенности, о которых мы будем еще говорить отдельно. Что же касается умножения и деления на ноль, то, как мы знаем, делить на ноль вообще нельзя, а умножать на ноль обе части равенств или неравенств не имеет смысла, потому что при умножении любого числа на ноль получается ноль. Если в обеих частях уравнения или неравенства у нас окажутся нули, то толку от этого ровным счетом никакого не будет.
Задачи
2.4.1. Определить, какие из следующих равенств являются тождествами, а какие — уравнениями. Особо отметить уравнения, не имеющие решений (то есть такие равенства, которые не становятся верными ни при каких значениях переменных).
x − y = 5;
x − 5 = 5;
− (−x) = x;
− (−x) = − x;
− (x − y) = − (y − x);
− (x − y) = y − x;
x + 2 = x;
x − (y + z) = x − y − z.
x − 2 = x.

2.4.2. Для каждого выражения из левого столбца найти тождественное выражение из правого столбца. (Два выражения называютсятождественными, если при постановке между ними знака равенства получается тождество.)
x − (x − 1)
1 − x− y + x
x − x5 + x − 5
x − y− y − x
− (x + y)3 − 3
 
2.4.3. Раскрыть скобки:
a + (b + c);
a − (b + c);
a + (b − c);
a − (b − c);
a + (− b + c);
a − (− b + c);
a + (− b − c);
a − (− b − c);

2.4.4. Для каждого уравнения из левого столбца подобрать эквивалентное ему уравнение из правого столбца.
x − y = 0 1 = y
x − 3 = yy = x
x − y = − y − xx − y + 1 = 4
1 − x = y − xx + x = 0
 
2.4.5. Решить уравнения и сделать проверку (x — неизвестная, a — параметр):
x + 531 = 273;
x − 531 = 273;
344 − x = 118;
a − x = 37;
a − x = a;
и т.п.

2.4.6. Старшему брату a лет, а младшему брату b лет. Каков будет возраст старшего брата, x, когда младшему будет y лет? Решить задачу в общем виде и получить численный ответ при следующих значениях параметров: a = 11,b = 5, y = 18. Каков будет возраст младшего брата, y, когда старшему будет xлет? Дать ответ в общем виде и получить его численное значение при a = 11,b = 5, x = 18.
2.4.7. Один брат старше другого на a лет. Через b лет старшему брату будет cлет. Найти нынешний возраст старшего брата, x, и младшего брата, y. Вычислить ответ при a = 3, b = 10, c = 25.
2.4.8. У Дениса было какое-то количество конфет, и у Матвея было какое-то количество конфет. После того как Денис дал Матвею a конфет, у них стало конфет поровну. На сколько конфет было у Дениса больше первоначально? Вычислить ответ при a = 3.
Вернуться к началу Перейти вниз
http://schoola.forum2x2.ru
 
Переменные
Предыдущая тема Следующая тема Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Маленький почемучка :: Математика :: Математика-
Перейти: