Маленький почемучка

школа, вопросы, помощь, видео, уроки, з класс, окружающий мир,
 
ФорумФорум  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  ВходВход  
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск
Ключевые слова
Матрица пифогор пифагор велислава мира осина маматов дрога мальцева руны таро список крупнейших панфилов мешков судьбы кислота знаки
Последние темы
» ИЗУЧЕНИЕ ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ С НУЛЯ!
Вт Окт 10, 2017 7:45 pm автор Лира

»  Тайны Русского языка
Ср Авг 03, 2016 10:19 am автор Лира

» Великая Травница - Целительница - Советы
Вс Июл 03, 2016 12:41 pm автор Лира

» Полиглот. Выучим Английский за 16 часов!
Вт Июн 14, 2016 8:06 pm автор Лира

» Проценты.
Пт Май 06, 2016 8:03 pm автор Лира

» Умножение десятичных дробей
Пт Май 06, 2016 7:53 pm автор Лира

» Тест по русскому языку
Вт Апр 12, 2016 4:00 pm автор Лира

» История деградации азбуки.
Ср Мар 09, 2016 6:55 am автор Лира

» частица "не"
Вт Мар 08, 2016 6:47 pm автор Лира

» Частичка-волонтер
Вт Мар 08, 2016 6:45 pm автор Лира

» почему так нельзя говорить...
Вт Мар 08, 2016 6:42 pm автор Лира

» О магических свойствах русского мата..и не только....
Вт Мар 08, 2016 6:39 pm автор Лира

»  Как обращаться: на вы или на ты?
Вт Мар 08, 2016 6:35 pm автор Лира

» Спасибо или Благодарю?
Вт Мар 08, 2016 6:30 pm автор Лира

» Истинный смысл бранных слов
Вт Мар 08, 2016 6:20 pm автор Лира

» Сказ про букву Р..........а умным...напоминалка. Безопасность при работе с буквицей. Часть 1.
Вт Мар 08, 2016 6:15 pm автор Лира

» Почему мы так говорим?
Вт Мар 08, 2016 6:10 pm автор Лира

» Много англ.
Ср Мар 02, 2016 6:23 am автор Лира

» УЧИМСЯ ГОВОРИТЬ ПРАВИЛЬНО
Ср Мар 02, 2016 6:20 am автор Лира

» ЛОВИОТВЕТ-ПОШАГОВЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР В ПОМОЩЬ РОДИТЕЛЯМ, ШКОЛЬНИКАМ .
Вт Мар 01, 2016 7:55 am автор Лира

» Слово с суффиксом "чик": правила написания и примеры -
Сб Фев 20, 2016 3:47 pm автор Лира

» Анатомия человека: Строение слухового анализатора
Вс Янв 31, 2016 10:10 am автор Admin

»  Основные законы сложения и умножения
Ср Янв 20, 2016 9:06 pm автор Лира

» ТАЙНЫ РУССКОГО ЯЗЫКА.
Ср Янв 20, 2016 10:40 am автор Лира

» 850 СЛОВ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ
Чт Дек 31, 2015 6:02 am автор Лира

Ноябрь 2017
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930   
КалендарьКалендарь
Партнеры
Создать форум


Поделиться | 
 

 Деление «уголком»

Предыдущая тема Следующая тема Перейти вниз 
АвторСообщение
Admin
Admin
avatar

Сообщения : 346
Репутация : 0
Дата регистрации : 2012-11-06

СообщениеТема: Деление «уголком»   Пт Дек 05, 2014 3:03 pm

Деление «уголком»
Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.
Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения
648 / 2.
Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:
648 =
 6  ∙ 100 +  4  ∙ 10 +  8  =
 3  ∙  2  ∙ 100 +  2  ∙  2  ∙ 10 +  4  ∙  2  =
( 3  ∙ 100 +  2  ∙ 10 +  4 )  ∙  2  =
 324  ∙  2 .
После этого становится очевидно, что частное от деления равно
648 / 2 = 324.
Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:
156 / 2 = ?
Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:
156 =
 15  ∙ 10 +  6 .
Поскольку число  15  не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:
 15  =  7 ∙ 2  +  1  =  14  +  1 .
Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:
156 =
 15  ∙ 10 +  6  =
( 14  +  1 ) ∙ 10 +  6  =
 14   ∙ 10 +  1  ∙ 10 +  6  =
 14  ∙ 10 +  16  =
 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  =
( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  =
 78  ∙  2 .
Отсюда моментально получаем ответ:
156 / 2 = 78.
Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:
 
 1  5  6  2  
             
При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается  7  плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку  под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):
 
 1  5  6  2  
        7   
Умножаем на эту  семерку  наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):
 
 1  5  6  2  
 1  4   7   
Теперь настало время вычислить остаток от деления  15-ти  на  2 . Он равен, очевидно,
 15  −  2  ∙  7  =  15  −  14 .
У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:
 
 1  5  6  2  
 1  4   7    
  1    
У нас получается  единица , к которой мы приписываем  шестерку  из следующего разряда делимого:
 
 1  5  6  2  
 1  4   7    
  1  6   
В результате такого приписывания у нас получается число  16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем  8 . Эту  восьмерку  пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:
 

 1  5  6  2  
 1  4   7  8 
  1  6   
Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:
 
 1  5  6  2  
 1  4   7  8 
  1  6   
  1  6   
Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:
 
 1  5  6  2  
 1  4   7  8 
  1  6   
  1  6   
   0   
Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:
156 : 2 = 78 (ост. 0).
Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:
157 : 2 = 78 (ост. 1).
Таблица для этого примера выглядит так:
 
 1  5  7 2  
 1  4   7  8 
  1  7  
  1  6   
   1  
Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:
157 =
 14  ∙ 10 +  17  =
 7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  + 1 =
( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  + 1 =
 7 8  ∙  2  + 1
Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:
135674 : 259 = ?
Приступаем к заполнению таблицы:
 
                 1  3  5  6  7  4  2  5  9 
          
В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:
 1356  :  259  = ?
Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:
 1356  /  259  ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 =  5 .
Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,
 1356  :  259  =  5  (остаток — пока неважно какой).
Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:
 
  1  3  5  6  7  4  2  5  9 
    1    2    4      
 259  ∙  5  =   1  2  9  5    5   
Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение  259  ∙  5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа  1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть  пятерку  в строке ответа, на ее место поставить четверку  — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.
Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:
 
  1  3  5  6  7  4  2  5  9 
    1    2    4      
 259  ∙  5  =   1  2  9  5    5   
    6  1      
Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,
 1356  :  259  =  5  (ост.  61 ).
Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:
 
  1  3  5  6  7  4  2  5  9 
    1    2    4      
 259  ∙  5  =   1  2  9  5    5  2  3 
    6  1  7     
      1   1     
 259  ∙  2  =      5  1  8     
     9  9  4    
       1  2    
 259  ∙  3  =       7  7  7    
     2  1  7    
Можно выписывать окончательный ответ:
135674 : 259 = 523 (ост. 217).
Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.
Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:
 
 2  6  2  7 4  0  8  7   
   2   2          
 2  6  1     3  0  2  0 
   1  7  4      
     1   1      
   1  7  4      
     0      
Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться
лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).
Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.
Вернуться к началу Перейти вниз
http://schoola.forum2x2.ru
 
Деление «уголком»
Предыдущая тема Следующая тема Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Маленький почемучка :: Математика :: Математика-
Перейти: