Admin Admin
Сообщения : 314 Репутация : 0 Дата регистрации : 2012-11-06
| Тема: Приближенные вычисления с десятичными дробями Пт Дек 05, 2014 3:08 pm | |
| Приближенные вычисления с десятичными дробямиОкругление десятичных дробейРазумеется, иметь дело с периодическими дробями очень неудобно. Зато их легко можно округлить с точностью до любого разряда. Округление производится по тем же правилам, по которым мы раньше округляли целые числа. Вот примеры округления до разряда сотых (или, как еще говорят, до двух знаков после запятой):1 / 3 = 0,333333... ≈ 0,33;2 / 3 = 0,666666... ≈ 0,67;27 / 11 = 2,454545... ≈ 2,45;Округление до одного знака после запятой выглядит так:1 / 3 = 0,333333... ≈ 0,3;2 / 3 = 0,666666... ≈ 0,7;27 / 11 = 2,454545... ≈ 2,5;А вот округление до разряда единиц, то есть до целых чисел:1 / 3 = 0,333333... ≈ 0;2 / 3 = 0,666666... ≈ 1;27 / 11 = 2,454545... ≈ 2;Разумеется, округлять можно и непереодические дроби, если у них после запятой окажется слишком много «лишних» знаков:1,23456789 ≈ 1,23.Если в результате округления на месте последнего сохраняемого разряда оказывается ноль, то этот ноль принято выписывать явным образом:1,201 ≈ 1,20;1,199 ≈ 1,20.Здесь, в обоих примерах, концевой ноль указывает на то, что округление производилось именно с точностью до двух знаков после запятой, а не до одного. Таким образом, еслиa ≈ 1,20,то, согласно правилам округления, это значит, что1,195 ≤ a < 1,205.А если бы мы написали, чтоa ≈ 1,2,то это бы означало:1,15 ≤ a < 1,25.Стандартное представление чиселДавайте вспомним, как мы раньше округляли целые числа. Округление до двух значащих цифр могло выглядеть так:123 456 789 ≈ 120 000 000,А округление до пяти значащих цифр — так:120 001 234 ≈ 120 000 000.При этом по виду ответа никак нельзя было определить, сколько значащих цифр он содержит, иначе говоря, мы не могли ответить на вопрос, с какой точностью проведено округление. Теперь, познакомившись с десятичными дробями, мы можем сделать запись более информативной (а во многих случаях и более компактной):123 456 789 ≈ 1,2 ∙ 108;120 001 234 ≈ 1,2000 ∙ 108.Здесь результаты округления записаны в так называемом стандартном представлении. В общем случае стандартное представление числа x имеет такой вид:x = a ∙ 10n.Здесь показатель степени n — это некоторое целое число, а первый сомножитель a представляет собой десятичную дробь, у которой все цифры являются значимыми, а абсолютная величина которой находится в пределах от 1 (включительно) до 10 (не включительно):1 ≤ |a| < 10.Десятичная дробь a называется мантиссой числа x, а n — его порядком. Вот еще два примера записи чисел в стандартном представлении:−1,2 ∙ 106 = −1 200 000 («минус один и два на десять в шестой»);1,05 ∙ 10−3 = 0,00105 («один-ноль-пять на десять в минус третьей»).Если порядок n равен нулю, то сомножитель 10n можно опустить:9,8700.Заметим, что число ноль в стандартном представлении записать нельзя. Вместо этого пользуются обычной записью: 0 или 0,0.Приближенное умножение, сложение и вычитание десятичных дробейлегко сводится к соотвествующим приближенным операциям с целыми числами. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на этой теме. Приведем только несколько примеров: 687,9 ∙ 0,267 ≈ 690 ∙ 0,27 = 69 ∙ 101 ∙ 27 ∙ 10−2 = 69 ∙ 27 ∙ 10−1 = 1863 ∙ 10−1 ≈ 1800 ∙ 10−1 = 1,8 ∙ 103 ∙ 10−1 = 1,8 ∙ 102. 61,238 + 0,345678 ≈ 61,2 + 0,3 = 61,5;61,238 − 0,345678 ≈ 61,2 − 0,3 = 60,9; 7,6543 − 7,6457 ≈ 7,654 − 7,646 = 0,008.Приближенное делениеДопустим, мы хотим найти результат деления12345 / 6789с точностью до двух значащих цифр. Для этого мы могли бы с помощью деления «уголком» вычислить первые три цифры ответа:12345 / 6789 = 1,81... ,а потом, по всем правилам, округлить результат до требуемой точности:12345 / 6789 = 1,81... ≈ 1,8.Но мы так делать не будем. Гораздо удобнее, прежде чем приступать к трудоемкой операции деления, сперва округлить делимое и делитель. При этом в каждом из них нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их должно быть в ответе. В данном случае, должно остаться по две значащие цифры:12345 ≈ 12000;6789 ≈ 6800.Почему именно так? Давайте вспомним о приближенном умножении. Мы знаем, что если его выполнять по всем правилам, то число значащих цифр у обоих сомножителей и у их произведения оказывается одинаковым. Мы знаем также, что пример на умножениеa ∙ b = cлегко превращается в пример на деление с теми же числами:c / a = b.Поэтому правило «одинакового числа значащих цифр» остается справедливым и в случае деления.Итак, мы имеем:12345 / 6789 ≈ 12000 / 6800 = 120 / 68.Теперь выполняем деление «уголком»: 1 | 2 | 0 | 6 | 8 | | | 6 | 8 | 1, | 7 | 6 | | 5 | 2 | 0 | | | | 4 | 7 | 6 | | | | | 4 | 4 | 0 | | | | 4 | 0 | 8 | | | | | 3 | 2 | | Отсюда:12345 / 6789 ≈ 120 / 68 = 1,76... ≈ 1,8.Мы получили в точности тот же ответ, что и раньше. Однако в общем случае ответы могут немного отличаться. Допустим, мы хотим получить частное от деления тех же чисел с точностью до одной значащей цифры. После округления точного результата деления ответ оказывается таким:12345 / 6789 = 1,8... ≈ 2.Если же мы вначале округлим делимое и делитель и только потом выполним деление, то ответ будет другим:12345 / 6789 ≈ 10000 / 7000 = 10 / 7 = 1,4... ≈ 1.Но подобные расхождения, как мы знаем, для приближенных вычислений — в порядке вещей.Вычислим теперь следующее частное с точностью до двух значащих цифр:1234,5 / 0,6789Делается это так:1234,5 / 0,6789 ≈округляем числитель и знаменатель≈1200 / 0,68 =переписываем в более удобном виде=120 ∙ 101 / (68 ∙ 10−2) =«отсоединяем» степени десяти=(120 / 68) ∙ 101 ∙ 102 =выполняем деление=1,76... ∙ 103 ≈округляем≈1,8 ∙ 103.В общем случае, пусть x и y — произвольные десятичные дроби (y ≠ 0). Тогда их частное x/y вычисляется с точностью до k значащих цифр следующим образом.Округлим каждое из чисел x и y до k значащих цифр и представим результат в видеx ≈ a ∙ 10n,y ≈ b ∙ 10m,где a и b — такие целые числа, которые удобно делить друг на друга. Мы теперь можем найти их частное c, округленное до k значащих цифр:c ≈ a / b.Отсюда, результат деления x на y равен:x / y ≈ с ∙ 10n−m. | |
|