Маленький почемучка

школа, вопросы, помощь, видео, уроки, з класс, окружающий мир,
 
ФорумФорум  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  ВходВход  
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск
Ключевые слова
Последние темы
» Постоять за себя: 10 правил, о которых стоит рассказать ребёнку
Чт Апр 27, 2017 10:01 pm автор Лира

»  Тайны Русского языка
Ср Авг 03, 2016 10:19 am автор Лира

» НА СДАЧУ ЭКЗАМЕНА
Сб Июл 30, 2016 1:02 pm автор Лира

» Как развить память
Сб Июл 30, 2016 9:47 am автор Лира

» Великая Травница - Целительница - Советы
Вс Июл 03, 2016 12:41 pm автор Лира

» Полиглот. Выучим Английский за 16 часов!
Вт Июн 14, 2016 8:06 pm автор Лира

» Мощное поднятие настроения, выход из депрессии, тревоги
Пт Май 06, 2016 8:39 pm автор Лира

» Исполнение любой просьбы. Ширди Баба
Пт Май 06, 2016 8:26 pm автор Лира

» Музыка для очищения и гармонизации пространства.
Пт Май 06, 2016 8:21 pm автор Лира

» Глубокая тета-медитация. Тета-исцеление
Пт Май 06, 2016 8:18 pm автор Лира

» Программа раскрытия творческого потенциала мозга
Пт Май 06, 2016 8:17 pm автор Лира

» Проценты.
Пт Май 06, 2016 8:03 pm автор Лира

» Умножение десятичных дробей
Пт Май 06, 2016 7:53 pm автор Лира

» Тест по русскому языку
Вт Апр 12, 2016 4:00 pm автор Лира

» История деградации азбуки.
Ср Мар 09, 2016 6:55 am автор Лира

» частица "не"
Вт Мар 08, 2016 6:47 pm автор Лира

» Частичка-волонтер
Вт Мар 08, 2016 6:45 pm автор Лира

» почему так нельзя говорить...
Вт Мар 08, 2016 6:42 pm автор Лира

» О магических свойствах русского мата..и не только....
Вт Мар 08, 2016 6:39 pm автор Лира

»  Как обращаться: на вы или на ты?
Вт Мар 08, 2016 6:35 pm автор Лира

» Спасибо или Благодарю?
Вт Мар 08, 2016 6:30 pm автор Лира

» Истинный смысл бранных слов
Вт Мар 08, 2016 6:20 pm автор Лира

» Сказ про букву Р..........а умным...напоминалка. Безопасность при работе с буквицей. Часть 1.
Вт Мар 08, 2016 6:15 pm автор Лира

» Почему мы так говорим?
Вт Мар 08, 2016 6:10 pm автор Лира

» Много англ.
Ср Мар 02, 2016 6:23 am автор Лира

Сентябрь 2017
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930 
КалендарьКалендарь
Партнеры
Создать форум


Поделиться | 
 

 Приближенные вычисления с десятичными дробями

Предыдущая тема Следующая тема Перейти вниз 
АвторСообщение
Admin
Admin
avatar

Сообщения : 346
Репутация : 0
Дата регистрации : 2012-11-06

СообщениеТема: Приближенные вычисления с десятичными дробями   Пт Дек 05, 2014 3:08 pm

Приближенные вычисления с десятичными дробями
Округление десятичных дробей
Разумеется, иметь дело с периодическими дробями очень неудобно. Зато их легко можно округлить с точностью до любого разряда. Округление производится по тем же правилам, по которым мы раньше округляли целые числа. Вот примеры округления до разряда сотых (или, как еще говорят, до двух знаков после запятой):
1 / 3 = 0,333333... ≈ 0,33;
2 / 3 = 0,666666... ≈ 0,67;
27 / 11 = 2,454545...  ≈ 2,45;
Округление до одного знака после запятой выглядит так:
1 / 3 = 0,333333... ≈ 0,3;
2 / 3 = 0,666666... ≈ 0,7;
27 / 11 = 2,454545...  ≈ 2,5;
А вот округление до разряда единиц, то есть до целых чисел:
1 / 3 = 0,333333... ≈ 0;
2 / 3 = 0,666666... ≈ 1;
27 / 11 = 2,454545...  ≈ 2;
Разумеется, округлять можно и непереодические дроби, если у них после запятой окажется слишком много «лишних» знаков:
1,23456789 ≈ 1,23.
Если в результате округления на месте последнего сохраняемого разряда оказывается ноль, то этот ноль принято выписывать явным образом:
1,201 ≈ 1,20;
1,199 ≈ 1,20.
Здесь, в обоих примерах, концевой ноль указывает на то, что округление производилось именно с точностью до двух знаков после запятой, а не до одного. Таким образом, если
a ≈ 1,20,
то, согласно правилам округления, это значит, что
1,195 ≤ a < 1,205.
А если бы мы написали, что
a ≈ 1,2,
то это бы означало:
1,15 ≤ a < 1,25.
Стандартное представление чисел
Давайте вспомним, как мы раньше округляли целые числа. Округление до двух значащих цифр могло выглядеть так:
123 456 789 ≈ 120 000 000,
А округление до пяти значащих цифр — так:
120 001 234 ≈ 120 000 000.
При этом по виду ответа никак нельзя было определить, сколько значащих цифр он содержит, иначе говоря, мы не могли ответить на вопрос, с какой точностью проведено округление. Теперь, познакомившись с десятичными дробями, мы можем сделать запись более информативной (а во многих случаях и более компактной):
123 456 789 ≈ 1,2 ∙ 108;
120 001 234 ≈ 1,2000 ∙ 108.
Здесь результаты округления записаны в так называемом стандартном представлении. В общем случае стандартное представление числа x имеет такой вид:
x = a ∙ 10n.
Здесь показатель степени n — это некоторое целое число, а первый сомножитель a представляет собой десятичную дробь, у которой все цифры являются значимыми, а абсолютная величина которой находится в пределах от 1 (включительно) до 10 (не включительно):
1 ≤ |a| < 10.
Десятичная дробь a называется мантиссой числа x, а n — его порядком. Вот еще два примера записи чисел в стандартном представлении:
−1,2 ∙ 106 = −1 200 000 («минус один и два на десять в шестой»);
1,05 ∙ 10−3 = 0,00105 («один-ноль-пять на десять в минус третьей»).
Если порядок n равен нулю, то сомножитель 10n можно опустить:
9,8700.
Заметим, что число ноль в стандартном представлении записать нельзя. Вместо этого пользуются обычной записью: 0 или 0,0.
Приближенное умножение, сложение и вычитание десятичных дробейлегко сводится к соотвествующим приближенным операциям с целыми числами. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на этой теме. Приведем только несколько примеров:
 
687,9 ∙ 0,267 ≈ 690 ∙ 0,27 = 69 ∙ 101 ∙ 27 ∙ 10−2 = 69 ∙ 27 ∙ 10−1 = 1863 ∙ 10−1 ≈ 1800 ∙ 10−1 = 1,8 ∙ 103 ∙ 10−1 = 1,8 ∙ 102.
 
61,238 + 0,345678 ≈ 61,2 + 0,3 = 61,5;
61,238 − 0,345678 ≈ 61,2 − 0,3 = 60,9;
 
7,6543 − 7,6457 ≈ 7,654 − 7,646 = 0,008.
Приближенное деление
Допустим, мы хотим найти результат деления
12345 / 6789
с точностью до двух значащих цифр. Для этого мы могли бы с помощью деления «уголком» вычислить первые три цифры ответа:
12345 / 6789 = 1,81... ,
а потом, по всем правилам, округлить результат до требуемой точности:
12345 / 6789 = 1,81... ≈ 1,8.
Но мы так делать не будем. Гораздо удобнее, прежде чем приступать к трудоемкой операции деления, сперва округлить делимое и делитель. При этом в каждом из них нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их должно быть в ответе. В данном случае, должно остаться по две значащие цифры:
12345 ≈ 12000;
6789 ≈ 6800.
Почему именно так? Давайте вспомним о приближенном умножении. Мы знаем, что если его выполнять по всем правилам, то число значащих цифр у обоих сомножителей и у их произведения оказывается одинаковым. Мы знаем также, что пример на умножение
a ∙ b = c
легко превращается в пример на деление с теми же числами:
c / a = b.
Поэтому правило «одинакового числа значащих цифр» остается справедливым и в случае деления.
Итак, мы имеем:
12345 / 6789 ≈ 12000 / 6800 = 120 / 68.
Теперь выполняем деление «уголком»:
 
 1  2 0 6 8   
  6 8 1, 7  6 
  5 2 0  
  4  7  6  
   4 4 0 
   4 0 8 
    3 2 
Отсюда:
12345 / 6789 ≈ 120 / 68 = 1,76... ≈ 1,8.
Мы получили в точности тот же ответ, что и раньше. Однако в общем случае ответы могут немного отличаться. Допустим, мы хотим получить частное от деления тех же чисел с точностью до одной значащей цифры. После округления точного результата деления ответ оказывается таким:
12345 / 6789 = 1,8... ≈ 2.
Если же мы вначале округлим делимое и делитель и только потом выполним деление, то ответ будет другим:
12345 / 6789 ≈ 10000 / 7000 = 10 / 7 = 1,4... ≈ 1.
Но подобные расхождения, как мы знаем, для приближенных вычислений — в порядке вещей.
Вычислим теперь следующее частное с точностью до двух значащих цифр:
1234,5 / 0,6789
Делается это так:
1234,5 / 0,6789  ≈округляем числитель и знаменатель≈
1200 / 0,68  =переписываем в более удобном виде=
120 ∙ 101 / (68 ∙ 10−2)  =«отсоединяем» степени десяти=
(120 / 68) ∙ 101 ∙ 102  =выполняем деление=
1,76... ∙ 103  ≈округляем≈
1,8 ∙ 103.
В общем случае, пусть x и y — произвольные десятичные дроби (y ≠ 0). Тогда их частное x/вычисляется с точностью до k значащих цифр следующим образом.
Округлим каждое из чисел x и y до k значащих цифр и представим результат в виде
x ≈ a ∙ 10n,
y ≈ b ∙ 10m,
где a и b — такие целые числа, которые удобно делить друг на друга. Мы теперь можем найти их частное c, округленное до k значащих цифр:
c ≈ a / b.
Отсюда, результат деления x на y равен:
/ y ≈ с ∙ 10nm.
Вернуться к началу Перейти вниз
http://schoola.forum2x2.ru
 
Приближенные вычисления с десятичными дробями
Предыдущая тема Следующая тема Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Маленький почемучка :: Математика :: Математика-
Перейти: