Операции и операторы. Функции. Подстановки

Операции и операторы. Функции. Подстановки
Допустим, я прошу Дениса посчитать, сколько конфет я съел за день.
— До обеда я съел 3 конфеты, а после обеда 2 конфеты, — диктую я.
Денис записывает карандашом выражение:
3 + 2
— Э, нет, постой, после обеда я съел не 2 конфеты, а... Сейчас, подожди-ка, дай припомнить.
Денис берет резинку и стирает число 2. На его месте осталось сероватое пятнышко. Поскольку среди типографских знаков сероватых пятнышек нет, я вместо него напишу многоточие, заключенное в скобки:
3 + (...)
То, что при этом получилось, является типичным примером оператора. Вообще говоря, оператор — это то, что остается от выражения, если стереть в нем одно или несколько чисел. Сам по себе оператор — вещь совершенно бессмысленная. Это всего лишь заготовка, которая превращается в полноценное выражение, только если заполнить подобающим образом прилагаемые к нему «свободные» места.
— Ага, вспомнил! — говорю я Денису. — После обеда я съел 5 конфет.
Денис записывает:
3 + 5 = 8.
Говорят, что Денис подействовал оператором
3 + (...)
на число 5 и в результате получил 8. В некотором смысле оператор — это своеобразная машина по переработке чисел. В данном случае Денис ввел в машину число 5, а та переработала его в число 8. Такая переработка на математическом языке называется операцией.
Оператор может действовать не только на числа, но и на выражения. Например, я мог бы сказать Денису, что 4 конфеты я съел сразу после обеда и еще одну конфету спустя некоторое время. Тогда Денис записал бы число конфет, съеденных мной после обеда, в виде выражения
4 + 1.
Подействовав на это выражение оператором
3 + (...),
он бы нашел общее число съеденных за день конфет в следующем виде:
3 + (4 + 1).
Правило действия оператора на выражение таково: мы просто вписываем выражение на место многоточия, а скобки сохраняем. Потом, при желании, их можно раскрыть, но это уже отдельная процедура.
Необходимость сохранения скобок легко понять на следующем примере. Допустим, я говорю Денису:
— Всего за день я съел 8 конфет. Интересно, сколько конфет я съел до обеда, если после обеда я съел... я съел... Подожди минуточку, сейчас припомню...
Денис тем временем уже заготавливает оператор
8 − (...).
Я же продолжаю:
— Вначале я съел 4 конфеты, а потом еще одну.
Денис действует заготовленным оператором на выражение
4 + 1
и получает
8 − (4 + 1).
Если бы он не сохранил скобки, то получилось бы
8 − 4 + 1,
что, конечно же, неверно.
Итак, чтобы изготовить оператор, надо взять какое-то выражение, стереть в нем некоторые числа и на их месте поставить многоточие, заключенное в скобки (...). Если мы стерли лишь одно единственное число, то такой оператор называется унарным (то есть одинарным или одноместным). Вот примеры унарных операторов:
3 + (...)
4 − (...)
(...) + 5
(...) − 6
10 + ((...)− 2)
На практике, последовательность символов (...) писать не принято, если и без того ясно, в какое место следует поставить недостающее число. Поэтому первые четыре оператора лучше переписать так:
3 +
4 −
+ 5
− 6
Лишь последний оператор из этой серии придется пока оставить, как есть:
10 + ((...) − 2).
Но тогда сразу возникает вопрос. Как же тогда отличить оператор + 5 от целого положительного числа +5 и как отличить оператор − 6 от целого отрицательного числа −6?
А никак — потому что отличие тут такое тонкое, что в большинстве случаев можно считать, что его вообще нет.
Давайте вспомним, какие задачи мы решали с помощью целых чисел. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сперва он прыгнул на 2 ступеньки вниз, потом на 5 ступенек вверх, потом опять на 7 ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?
Мы не знаем номера ступеньки, на которой сидел кузнечик первоначально. Но в любом случае, если мы подействуем на этот номер оператором − 2, то спустимся вниз на две ступеньки. Поэтому положение кузнечика после первого прыжка можно представить в виде
(...) − 2,
или, короче:
−2.
Далее, мы действует на эту запись оператором + 5 и поднимаем кузнечика на пять ступенек вверх:
((...) − 2) + 5,
или, короче:
−2 + 5.
И, наконец, с помощью оператора − 7 опускаем его на семь ступенек вниз:
(((...) − 2) + 5) − 7,
или, короче:
−2 + 5 − 7.
Хотите — понимайте это выражение как сумму целых чисел, хотите — как цепочку операторов. Это уж дело вкуса. Но мы уже умеем вычислять значение выражения, представляющего собой сумму целых чисел:
−2 + 5 − 7 = −4.
Значит, и цепочку операторов мы можем записать короче, или, как говорят математики, упростить:
(((...) − 2) + 5) − 7 = (...) − 4.
Мы получили так называемое операторное равенство. Предполагается, что на стертые с обеих сторон места (...) следует вписать одно и то же число. Пока мы не знаем, каким будет это число, можно вместо него поставить какую-нибудь переменную, например, x:
((x − 2) + 5) − 7 = x − 4.
Это не что иное, как тождество, которое, после раскрытия скобок, принимает вид:
x − 2 + 5 − 7 = x − 4.
Конечно, такая запись короче и удобнее, чем запись с многоточием. К тому же, тут уже сразу ясно, что и слева, и справа от знака равенстсва вместо переменной x должно стоять одно и то же число. Никаких дополнительных пояснений на этот счет делать не требуется.
Поэтому на практике, запись с многоточием (...) никогда не употребляется. Либо многоточие и окружающие его скобки просто удаляют (и тогда запись (...) − 2 превращается просто в −2), либо ставят на их место какую-нибудь переменную.
Нам недавно встречался оператор
10 + ((...) − 2).
Очевидно, отсюда нельзя просто убрать (...), так как тогда получилось бы
10 + (−2),
а такая запись имеет совсем другой смысл. Здесь, по необходимости, приходится вводить переменную. В качестве такой переменной подойдет любая буква, но особенно часто употребляются последние три буквы латинского алфавита, то есть x, y или z. Таким образом, наш оператор можно записать, например, так:
10 + (y − 2).
Правда, в таком виде это называется уже не оператором, а функцией (или, если уж совсем точно, то функцией от независимой переменной y), но суть от перемены названия не меняется. Функция отличается от оператора только способом записи. Когда мы просто удаляем символы (...), то оператор остается оператором, а когда мы вместо этих символов пишем переменную, то оператор превращается в функцию.
Функции действуют на числа и выражения точно так же, как и операторы, хотя описывается это действие несколько в других словах. Например, принято говорить, что мы находим значение функции
8 − z
при следующем значении независимой переменной:
z = 4 − 1.
Это делается с помощью так называемой подстановки. На место переменной zв записи 8 − z мы подставляем то самое выражение, которому, как нам сообщили дополнительно, эта переменная равна, то есть 4 − 1. При этом, во избежание неприятностей, подставляемое выражение обязательно брать в скобки:
8 − (4 − 1).
По сути, это значит абсолютно то же самое, что подействовать оператором
8 − (...)
на выражение
4 − 1.
Фактически, функции — это не что иное, как уже знакомые нам выражения с переменными. Поэтому вместо слов «найти значение функции» часто говорят «найти значение выражения».
Всякий оператор можно записать в виде функции, но это не всегда удобно. Операторная запись часто оказывается значительно проще. Для того чтобы подействовать, например, оператором − 2 на число 3, не надо думать ни о каких подстановках, а достаточно просто это число приписать слева от оператора:
3 − 2.
Обычно в тех случаях, когда можно построить оператор, действующий посредством «приписывания», математики предпочитают пользоваться именно оператором. Но если такого оператора построить нельзя, как в рассмотренном ранее примере
10 + ((...) − 2),
то приходиться прибегать к функциям.
До сих пор мы рассматривали только унарные (одноместные) операторы. Но можно также взять какое-то выражение и стереть в нем не одно, а сразу два числа. Тогда мы получим так называемый бинарный (или двуместный) оператор. Вот примеры бинарных операторов:
(...) + 5 − (...) + 3,
2 − ((...) + 1) + (...).
Впрочем, эти примеры хороши лишь как примеры. На практике подобными операторами пользуются редко, потому что в таких случаях удобнее иметь дело с функциями двух независимых переменных:
x + 5 − y + 3,
2 − (u + 1) + v.
Однако есть и такие бинарные операторы, которые применяются очень широко. Например:
(...) + (...),
или в более короткой записи:
+
Этот оператор называется «плюс» и определяет операцию сложения. Как и всякий оператор, сам по себе он совершенно бессмыслен. Он приобретает смысл только тогда, когда по обе стороны от него приписывается по числу.
А вот другой, не менее распространенный, оператор:
(...) − (...),
или же
−
Он, как нетрудно догадаться, называется «минус» и определяет операцию вычитания.
Мы настолько часто сталкиваемся с этими операторами, что приводить тут какие-то дополнительные пояснительные примеры, по-видимому, совершенно излишне.
Разумеется, если у бинарного оператора занять только одно свободное место, то получится унарный оператор. Особое значение имеют два следующих унарных оператора:
0 + (...),
0 − (...).
Это так называемые унарный плюс и унарный минус. Обычно при их написании опускают не только многоточие со скобками, но и стоящий слева нуль. В результате, по написанию они ничем не отличаются от бинарного плюса и бинарного минуса. К путанице это обычно не приводит, потому что сами по себе операторы всё равно бессмысленны и приобретают смысл только при наличии определенного окружения, а по этому окружению всегда можно догадаться, о чем, собственно, идет речь.
Теперь мы можем, наконец, установить, в чем заключается тонкое отличие отрицательных чисел от одинаковых по записи унарных операторов. Впереди отрицательного числа стоит унарный минус, то есть под записью −2 подразумевается
0 − 2,
а когда мы имеем дело с унарным оператором − 2, то это на самом деле
(...) − 2.
Во многих случаях это отличие не играет никакой роли. А если требуется подчеркнуть, что перед нами число, а не оператор, мы можем заключить его в скобки: (−2), как это делается, например, в записи выражений типа:
3 + (−2),
В более полном виде это выражение писалось бы так:
3 + (0 − 2).
Аналогично для унарного плюса:
3 − (+2) = 3 − (0 + 2).
Кстати, машина по переработке чисел с помощью операторов существует в реальности и называется калькулятор. У всякого калькулятора есть кнопки, соответствующие бинарному плюсу, бинарному минусу и унарному минусу. Унарный плюс, впрочем, отсутствует за ненадобностью.
Задачи
2.7.1. Подействовать оператором на данное выражение и вычислить результат. (Здесь и далее требуется вначале выполнить подстановку, а потом производить вычисления.)

Оператор		Выражение
22 −		10 + 2
− 8		14 + 13
1 +		41 − 2
и т.п.

2.7.2. Подействовать оператором на данное выражение с параметром и упростить результат.

Оператор		Выражение
38 −		a + 12
− 14		a − 13
12 +		11 − a
и т.п.

2.7.3. Подействовать бинарным оператором на данные выражения и вычислить результат (первое выражение поставить слева, а второе — справа от оператора).

Оператор	Первое выражение	Второе выражение
+	13 − 8	38 − 3
−	27 − 14	17 − 44
+ 15 −	25 − 12	59 + 14
и т.п.

2.7.4. Подействовать бинарным оператором на данные выражения c параметром и упростить результат (первое выражение поставить слева, а второе — справа от оператора).

Оператор	Первое выражение	Второе выражение
+	a − 8	38 − 3
−	27 − 14	17 − a
+ 1 −	a − 12	59 − a
и т.п.

2.7.5. Вычислить значение функции при заданном значении переменной.

Функция		Значение переменной
x + 10		x = 5
55 − x		x = 14
23 + (34 − x)		x = 18
и т.п.

2.7.6. Выразить значение функции через параметр a при заданном значении переменной x .

Функция		Значение переменной
x + 10		x = a − 5
55 − x		x = 14 − a
23 + (34 − x)		x = 18 − a
и т.п.

2.7.7. Вычислить значение функции от двух переменных.

Функция		Значение переменных
x + y		x = 15, y = 62
x − (5 − y)		x = 90, y = 20
(90 − x) − (45 − y)		x = 16, y = 10
и т.п.

2.7.8. Выразить значение функции через параметр a при заданном значении переменных x и y.

Функция		Значение переменных
x + y		x = 12 − a, y = 14
x − (38 − y)		x = 55, y = 20 + a
(62 − x) − (29 + y)		x = 1 + a, y = 11
и т.п.

» Обратные операции. Операция деления. Дроби