Admin Admin
Сообщения : 314 Репутация : 0 Дата регистрации : 2012-11-06
| Тема: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Пт Дек 05, 2014 3:05 pm | |
| наибольший общий делитель и наименьшее общее кратноеМножество делителейРассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеетмножество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:2, 5, 7.Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:1, 140.Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:Множество делителей числа 140 ={1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения105 = 3 ∙ 5 ∙ 7мы получаем:Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:ПД(140) = {2, 5, 7}.ПД(105) = {3, 5, 7}.Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) — только один. Множество ПД(140) — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.Сокращение дробей. Наибольший общий делительРассмотрим дробь105 / 140.Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы. Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}. Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) ={1, 5, 7, 35}. Последнее равенство можно записать короче, а именно:Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:ПД(105) = {3, 5, 7};ПД(140) = {2, 5, 7};ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]Итак, мы выяснили, что дробь105 / 140можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множествуД(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу): 105 | = | 105/5 | = | 21 | ; | 140 | 140/5 | 28 | 105 | = | 105/7 | = | 15 | ; | 140 | 140/7 | 20 | 105 | = | 105/35 | = | 3 | . | 140 | 140/35 | 4 | Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 105 и 140. Это записывается какНОД(105, 140) = 35.Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.Отсюда видно, чтоНОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;55 = 5 ∙ 11.В этом случае,НОД(42, 55) = 1.Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называютсявзаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,42 / 55,то такая дробь является несократимой.Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде: a | = | a / НОД(a, b) | . | b | b / НОД(a, b) | Здесь предполагается, что a и b — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратноеПусть требуется вычислить сумму двух дробей:Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.Нетрудно видеть, что оба знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 105 и 140. Это записывается так:НОК(105, 140) = 420.Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d:b ∙ d = НОК(b, d) ∙ НОД(b, d).Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей: 1 | + | 1 | = | 3 ∙ 5 ∙ 7 | 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 | 2 ∙ 2 | + | 3 | = | 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 | 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 | 4 + 3 | = | 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 | Подобным же образом можно посчитать разность: | |
|