Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение

Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение
Те дроби, с которыми мы имели дело до сих пор иногда называютобыкновенными, для того чтобы отличить их от дробей другого типа, называемых десятичными. Десятичная дробь — это дробь со знаменателем, кратным десяти, записанная в виде ряда цифр с запятой между ними. К примеру, дроби со знаменателем 10 выглядят так:
0,1 = ¹/₁₀ = 1 ∙ 10⁻¹ («одна десятая»);
0,2 = ²/₁₀ = 2 ∙ 10⁻¹ («две десятых»);
1,5 = 1⁵/₁₀ = 15 ∙ 10⁻¹ («одна целая 5 десятых»);
23,7 = 23⁷/₁₀ = 237 ∙ 10⁻¹ («23 целых 7 десятых»).
Про десятичные дроби со знаменателем 10 говорят, что они имеют один знак после запятой. У дробей со знаменателем 100 после запятой два знака:
0,01 = ¹/₁₀₀ = 1 ∙ 10⁻² («одна сотая»);
0,25 = ²⁵/₁₀₀ = 25 ∙ 10⁻² («25 сотых»);
2,03 = 2³/₁₀₀ = 203 ∙ 10⁻² («две целые 3 сотых»).
У дробей со знаменателем 1000 — три знака:
0,001 = ¹/₁₀₀₀ = 1 ∙ 10⁻³ («ноль-запятая-ноль-ноль-один»);
0,018 = ¹⁸/₁₀₀₀ = 18 ∙ 10⁻³ («ноль-запятая-ноль-восемнадцать»);
0,999 = ⁹⁹⁹/₁₀₀₀ = 999 ∙ 10⁻³ («ноль и девять-девять-девять»);
1,008 = 1⁸/₁₀₀₀ = 1008 ∙ 10⁻³ («один и ноль-ноль-восемь»).
И так далее. Иногда в записи десятичных дробей вместо запятой ставят точку.
Заметим, что формально любое целое число можно представить в виде десятичной дроби, приписав к нему справа запятую и ноль, или даже несколько нулей, например:
15 = 15,0 («пятнадцать целых ноль десятых»),
15 = 15,000 («пятнадцать целых ноль тысячных»).
Поэтому, говоря о десятичных дробях, мы не будем исключать, что на самом деле они могут оказаться целыми числами.
Если в каком-либо числе a, записанном в виде десятичной дроби, все цифры после запятой заменить на ноль, то мы получим целую часть числа a. Если, наоборот, все цифры перед запятой заменить на ноль, то мы получим дробную часть числа а. Так, у числа
−123,45
целая часть равна
−123,0
а дробная часть —
−0,45.
Очевидно, что у всех целых чисел дробная часть равна нулю.
Дробную часть, так же как и целую, можно разбить на разряды.
Числу 0,1 = 10⁻¹ соответствует разряд десятых;
числу 0,01 = 10⁻² — разряд сотых;
числу 0,001 = 10⁻³ — разряд тясячных;
числу 0,0001 = 10⁻⁴ — разряд десятитысячных;
и так далее.
Сложение и вычитание десятичных дробей делается очень просто, так как они легко приводятся к одному знаменателю. Например,
0,432 + 0,1 =
0,432 + 0,100 =
0,532.
Или же:
0,432 − 0,1 =
0,432 − 0,100 =
0,332.
Впрочем, вторые строчки в обеих этих цепочках равенств — совершенно лишние. Приписывать «недостающие» нули можно и мысленно. При сложении и вычитании столбиком запятые у чисел должны находиться одна под другой:

+	3	2 ,	1
+		0 ,	2	4	6
	3	2 ,	3	4	6

Умножение десятичных дробей на 10ⁿ
Пусть a и k —произвольные целые числа. Что представляет из себя произведение
a ∙ 10^k ?
Если k > 0, то это просто число a с приписанными к нему справа k нулями. Например,
321 ∙ 10² = 32100
Или, что то же:
321,0 ∙ 10² = 32100,0
Если k < 0, то это то же число а с дополнительной запятой, поставленной так, что после нее оказывается |k| цифр:
321,0 ∙ 10⁻² = 3,21
(Напомню, что под |k| мы понимаем модуль k, то есть число k с отброшенным знаком.) Наконец, если k = 0, то это число а, оставленное без изменений:
321,0 ∙ 10⁰ = 321,0
Особо следует отметить случай, когда k отрицательно, но сравнительно велико по абсолютной величине:
321,0 ∙ 10⁻⁵ = 0,00321
Здесь нам пришлось приписать слева три дополнительных нуля, чтобы запятая могла оказаться на правильном месте.
В любом случае можно сказать, что умножение на 10^k сводится к перемещению запятой на k цифр вправо. (Если k отрицательно, то, в соответствии со смыслом отрицательных чисел, перемещение фактически происходит в противоположную сторону, то есть влево.)
А что должно получиться, если мы умножим целое число а вначале на 10^k, а потом — еще на 10ⁿ, где n — еще одно произвольное целое число? Для того, чтобы получить ответ, нам, очевидно, надо переместить запятую сначала на kцифр, а потом еще на n цифр, то есть всего на (k+n) цифр, что прекрасно согласуется с тем фактом, что 10^k∙10ⁿ = 10^k+n.
Теперь заметим, что произвольную десятичную дробь можно записать как
a ∙ 10^k
(прежде всего, мы имеем в виду случай, когда k отрицательно, но наши рассуждения справедливы для любого целого k). Тогда произведение этой десятичной дроби на 10ⁿ представится в виде
(a ∙ 10^k) ∙ 10ⁿ.
А значит, мы пришли к таком правилу:
Для того чтобы умножить произвольную десятичную дробь на 10ⁿ, надо в ее записи переместить запятую на n цифр вправо (дописав при необходимости дополнительные нули).
Например,
3,21 ∙ 10³ = 3210,0
3,21 ∙ 10⁻² = 0,0321

Произведение двух десятичных дробей
Пусть x и y — две произвольные десятичные дроби, такие что
x = a ∙ 10^k,
y = b ∙ 10ⁿ,
где a, b, k и n — некоторые целые числа, причем a и b оканчиваются не на ноль. Тогда произведение x ∙ y, очевидно, равно
x ∙ y = (a ∙ b) ∙ 10^k+n.
Если оба показателя степени, k и n, больше нуля, то мы приходим к давно известному нам правилу умножения «круглых» чисел: мы отбрасываем поначалу все конечные нули, выполяем умножение без них, а потом к результату приписываем столько нулей, сколько мы раньше отбросили в обоих сомножителях вместе взятых. Например,
300 ∙ 50 = 15000;
200 ∙ 50 = 10000.
Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени равен нулю, а другой положителен:
300 ∙ 5 = 1500;
200 ∙ 5 = 1000.
Если оба показателя степени, k и n, меньше нуля, то числа x и y являются дробными. Для них правило умножения таково: мы отбрасываем в их записи запятые, выполняем умножение как с целыми числами, а потом в ответе ставим запятую таким образом, чтобы после нее стояло столько знаков, сколько их раньше стояло после запятых в обоих сомножителях вместе взятых. Например,
0,03 ∙ 0,5 = 0,015;
0,02 ∙ 0,5 = 0,010 = 0,01.
Это же правило формально действует и в том случае, когда один из показателей степени равен нулю, а другой отрицателен:
0,03 ∙ 5 = 0,15;
0,02 ∙ 5 = 0,10 = 0,1.
Если же один из показателей степени отрицателен, а другой положителен, тогда мы имеем дело с умножением дробного числа на «круглое». В дробном числе мы отбрасываем запятую, в «круглом» отбрасываем нули и, выполнив умножение, ставим запятую на таком же удалении от конца, на котором она стояла в дробном сомножителе, а потом сдвигаем ее вправо на столько цифр, сколько мы отбросили нулей в «круглом» сомножителе. Например,
300 ∙ 0,5 = 150
200 ∙ 0,5 = 100
30 ∙ 0,05 = 1,5
20 ∙ 0,05 = 1,0 = 1
Замечание о делении десятичных дробей
Сохраняя те же обозначения, что и раньше, мы можем, очевидно, записать частное двух десятичных дробей
x = a∙10^k и y = b∙10ⁿ
в таком виде:
x / y = (a / b) ∙ 10^k−n.
Если a делится нацело на b, то никаких больше проблем не возникает. Но что делать, если это не так? Об этом речь пойдет в двух следующих главах.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную
Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь 11/4 в десятичную. Проще всего сделать это так:

11	= 2	3	= 2	3	= 2	3∙5∙5	= 2	75	= 2,75.
4		4		2∙2		2∙2∙5∙5		100

Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы дополнили это разложение еще двумя пятерками, воспользовались тем, что 10 = 2∙5, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, тогда и только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, то такую дробь в десятичную преобразовать нельзя. Тем не менее, мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы познакомимся на примере всё той же дроби 11/4. Давайте поделим 11 на 4 «уголком»:

1	1	4
	8	2
	3

В строке ответа мы получили целую часть ( 2 ), и еще у нас есть остаток ( 3 ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( 11 ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( 3 ):

1	1	4
	8	2
	3	0

Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:

1	1	4
	8	2,	7
	3	0
	2	8
		2

Теперь приписываем к остатку ( 2 ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:

1	1	4
	8	2,	7	5
	3	0
	2	8
		2	0
		2	0
			0

В результате получаем, как и раньше,
11/4 = 2,75.
Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь 27/11:

2	7	1	1
2	2	2,	4	5
	5	0
	4	4
		6	0
		5	5
			5

Мы получили в строке ответа число 2,45, а в строке остатка — число 5 . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет 4, затем пойдет цифра 5, потом — снова 4 и снова 5, и так далее, до бесконечности:
27 / 11 = 2,454545454545...
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом 45. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
2,454545454545... = 2,(45).
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.
Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:
a = 0,2(45).
Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?
Умножим ее на число 10^k, где k — это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае k = 1 и 10^k = 10:
a ∙ 10^k = 2,(45).
Полученный результат умножим на 10ⁿ, где n — «длина» периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае n = 2 и 10ⁿ = 100:
a ∙ 10^k ∙ 10ⁿ = 245,(45).
Теперь вычислим разность
a ∙ 10^k ∙ 10ⁿ − a ∙ 10^k = 245,(45) − 2,(45).
Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно a:
a ∙ 10^k ∙ (10ⁿ − 1) = 245 − 2.
Решается это уравнение с помощью следующих преобразований:
a ∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
a ∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

a =	245 − 2	.
	10 ∙ 99

Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( 245 ) — это дробная часть числа
a = 0,2(45)
если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( 2 ) — это непериодическая часть числа а, располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( 10 ) — это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части (k). Второй сомножитель в знаменателе ( 99 ) — это столько девяток, сколько цифр содержит период (n).
Теперь наши вычисления можно довести до конца:

a =	243	=	3∙3∙27	=	27	.
	10∙99		2∙5 ∙ 3∙3∙11		110

Если непериодическая часть отсутствует, то ситуация заметно упрощается. Пусть, например,
b = 0,(45).
Воспользовавшись плодами наших рассуждений, мы получаем

b =	45	.
	99

Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на 9 полученная дробь оказывается равной

b =	5	.
	11

Любопытный результат получается, если перевести в обыкновенную дробь число
0,(9) = 0,9999999...
Действительно, согласно только что установленным правилам,

0,(9) =	9	= 1.
	9

Подобным же образом,
0,5999999... = 0,6.

[url=http://yandex.ru/video/search?fiw=0.00257662&fiw=0.00257662&filmId=c-dF-pr-UXI&text=как быстро научить ребенка считать дроби&path=wizard]сложение дробей[/url]

» Сложение и вычитание «столбиком»
» Разряды чисел. Сложение и вычитание по разрядам
» Обратные операции. Операция деления. Дроби
» Умножение
» Умножение отрицательных чисел