Деление «уголком»

Тема: Деление «уголком» Пт Дек 05, 2014 3:03 pm

Деление «уголком»
Деление «уголком» — это, на мой взгляд, самая тяжелая, самая нудная тема во всей школьной математике. Тут нам придется всерьез поднапрячься. Пусть, однако, нас вдохновляет мысль, что весь последующий материал будет значительно легче и приятнее.
Прежде всего, рассмотрим деление на однозначное число. Допустим, мы хотим вычислить значение выражения
648 / 2.
Пользуясь свойствами умножения, мы можем расписать делимое таким образом:
648 =
6  ∙ 100 +  4  ∙ 10 +  8  =
3  ∙  2  ∙ 100 +  2  ∙  2  ∙ 10 +  4  ∙  2 =
( 3  ∙ 100 +  2  ∙ 10 +  4 ) ∙  2  =
324  ∙  2 .
После этого становится очевидно, что частное от деления равно
648 / 2 = 324.
Но это мы взяли самый что ни на есть простейший случай, когда каждую отдельно взятую цифру делимого можно поделить на делитель. А вот пример несколько посложнее:
156 / 2 = ?
Здесь первая цифра оказалась меньше делителя. Поэтому, расписывая делимое, мы не будем отрывать ее от второй цифры:
156 =
15  ∙ 10 +  6 .
Поскольку число  15  не делится нацело на 2, придется нам прибегнуть к делению с остатком. Представим результат такого деления в виде:
15  =  7 ∙ 2  +  1  =  14  +  1 .
Теперь мы можем продолжать расписывать наше делимое дальше:
156 =
15  ∙ 10 +  6  =
( 14  +  1 ) ∙ 10 +  6  =
14   ∙ 10 +  1  ∙ 10 +  6  =
14  ∙ 10 +  16  =
7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  =
( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  =
78  ∙  2 .
Отсюда моментально получаем ответ:
156 / 2 = 78.
Такого рода расчеты можно проводить в уме и сразу же писать ответ. Но мы сейчас перепишем их в виде краткой таблицы. Умение составлять такие таблицы нам пригодится, когда мы займемся делением на многозначные числа, когда всё окажется не так просто. Делимое и делитель запишем так:

1	5	6	2

При делении первых двух разрядов ( 15 ) на двойку получается 7 плюс еще какой-то остаток. С этим остатком мы разберемся чуть позже, а пока запишем семерку под чертой снизу от делителя (здесь у нас со временем будет выписан полный ответ):

1	5	6	2
			7

Умножаем на эту семерку наш делитель ( 2 ) и записываем ответ ( 14 ) под первыми двумя разрядами делимого ( 15 ):

1	5	6	2
1	4		7

Теперь настало время вычислить остаток от деления 15-ти на 2 . Он равен, очевидно,
15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .
У нас уже всё подготовлено, чтобы выполнить это вычитание «столбиком»:

1	5	6	2
1	4		7
	1

У нас получается единица , к которой мы приписываем шестерку из следующего разряда делимого:

1	5	6	2
1	4		7
	1	6

В результате такого приписывания у нас получается число 16 . Мы делим его на наш делитеть ( 2 ) и получаем 8 . Эту восьмерку пишем в строке ответа, под чертой снизу от делителя:

1	5	6	2
1	4		7	8
	1	6

Ответ мы получили, однако правила составления таблицы таковы, что нам надо добавить в нее еще две строки. Мы должны формальным образом убедиться, что не потеряли остаток от деления. Умножаем делитель ( 2 ) на последнюю цифру ответа ( 8 ), приписываем результат ( 16 ) снизу к нашей таблице в последние два разряда делимого:

1	5	6	2
1	4		7	8
	1	6
	1	6

Вычитаем последнюю строку из предпоследней и получаем 0:

1	5	6	2
1	4		7	8
	1	6
	1	6
		0

Этот последний нуль есть не что иное, как остаток от деления, который образовался бы в том случае, если бы мы рассматривали деление с остатком:
156 : 2 = 78 (ост. 0).
Чтобы получше это понять, возьмем похожий пример, в котором, однако, остаток не равен нулю:
157 : 2 = 78 (ост. 1).
Таблица для этого примера выглядит так:

1	5	7	2
1	4		7	8
	1	7
	1	6
		1

Здесь, опять-таки, остаток стоит в последней строке. Для полноты картины распишем наше делимое в таком виде:
157 =
14  ∙ 10 +  17  =
7  ∙  2  ∙ 10 +  8  ∙  2  + 1 =
( 7  ∙ 10 +  8 ) ∙  2  + 1 =
7 8  ∙  2  + 1
Теперь мы готовы к тому, чтобы делить (нацело или с остатком) на многозначные числа. Это делается при помощи подобной же таблицы (именно из-за ее особого вида данная процедура получила название деление «уголком»). Допустим, требуется выполнить деление с остатком:
135674 : 259 = ?
Приступаем к заполнению таблицы:

	1	3	5	6	7	4	2	5	9

В данном случае, чтобы найти первую цифру частного, надо взять первые четыре цифры делимого ( 1356 ) и получившееся число поделить (с остатком) на делитель ( 259 ). Почему надо взять именно первые четыре цифры делимого? Потому что если бы мы взяли хотя бы на одну цифру меньше, то получившееся число ( 135 ) оказалось бы меньше делителя ( 259 ), а это совсем не то, из чего можно было бы извечь полезную информацию. Итак, возьмем первые четыре цифры делимого и рассмотрим следующее деление с остатком:
1356  :  259  = ?
Тут нам помогут приближенные вычисления, для которых, как мы знаем, вовсе необязательно, чтобы числа делились друг на друга нацело:
1356  /  259  ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 =  5 .
Зная результат приближенного деления, мы можем предположить, что, скорее всего,
1356  :  259  =  5  (остаток — пока неважно какой).
Конечно, абсолютной уверенности у нас нет. Здесь вместо  пятерки  вполне может стоять  четверка  или  шестерка , однако вряд ли мы ошиблись больше, чем на одну единицу. Имея это в виду, тем не менее берем эту  пятерку  и заносим ее в нашу таблицу в строку ответа. После этого умножаем на нее делитель ( 259 ) и при этом записываем ответ под делимым в подходящие разряды:

	1	3	5	6	7	4	2	5	9
	1	2	4
259 ∙ 5 =	1	2	9	5			5

Здесь «маленькие» цифры — это побочный продукт процедуры умножения: мы познакомились с ними, когда учились умножать «в столбик». После того как умножение выполнено, они становятся больше не нужны: на них можно просто не обращать внимания. Выражение 259 ∙ 5 , написанное слева от таблицы, помещено сюда только ради пояснения того, что мы делаем. К таблице оно, собственно, не принадлежит, и в будущем мы такие пояснения выписывать не будем. Тут важно отметить, что результат нашего умножения ( 1295 ) оказался меньше записанного над ним числа 1356 , составленного из первых четырех цифр делимого. Если бы это было не так, то это означало бы, что приближенное деление дало нам завышенный результат. Нам надо было бы тогда зачеркнуть пятерку в строке ответа, на ее место поставить четверку — после чего зачеркнуть и переделать все наши последующие вычисления. Но нам на этот раз повезло, и ничего переделывать не требуется.
Теперь выполняем вычитание в столбик и получаем:

	1	3	5	6	7	4	2	5	9
	1	2	4
259 ∙ 5 =	1	2	9	5			5
			6	1

Внимательно приглядимся к полученной разности ( 61 ). Очень важно, что она оказалась меньше делителя ( 259 ). В противном случае мы пришли бы к выводу, что приближенное деление дало нам заниженный результат и нам пришлось бы теперь исправлять в строке ответа  пятерку  на  шестерку , а также переделывать все последующие вычисления. К счастью, этого не случилось. Приближенное вычисление нас не подвело, и мы теперь совершенно точно знаем, что,
1356  :  259  =  5  (ост.  61 ).
Возвращаемся к таблице. К нашему остатку ( 61 ) приписываем  семерку  из следующего разряда делимого и приступаем к нахождению второй цифры ответа. Это делается с помощью точно такой же процедуры, что и раньше. Потом — очередь за третьей цифрой. В конце концов таблица принимает такой вид:

	1	3	5	6	7	4	2	5	9
	1	2	4
259 ∙ 5 =	1	2	9	5			5	2	3
			6	1	7
			1	1
259 ∙ 2 =			5	1	8
				9	9	4
				1	2
259 ∙ 3 =				7	7	7
				2	1	7

Можно выписывать окончательный ответ:
135674 : 259 = 523 (ост. 217).
Самая большая неприятность в делении «уголком» состоит в том, что приближенные вычисления, к которым приходится прибегать по ходу дела, не дают сразу гарантированно правильного результата и нуждаются иногда в последующей коррекции. Впрочем, по мере тренировки, у нас выработается особое чутье и мы будем уже сразу почти наверняка знать, какие цифры следует писать в строке ответа, чтобы потом ничего больше не надо было исправлять и переделывать.
Разумеется, нам будут попадаться случаи, когда частное содержит нули. Каждый такой нуль позволит сделать в таблице небольшие сокращения. Вот пример такой таблицы:

2	6	2	7	4	0	8	7
2	2
2	6	1				3	0	2	0
		1	7	4
		1	1
		1	7	4
				0

Как и в случае умножения «в столбик», для того чтобы было удобнее писать «маленькие» цифры, нам может понадобиться
лист со специальной линовкой для вычислений (формат pdf).
Теперь остается только тренироваться, тренироваться и тренироваться.

» Деление нацело и деление с остатком