Возведение в степень

Тема: Возведение в степень Пт Дек 05, 2014 3:06 pm

Возведение в степень
Рассмотрим разложение на простые множители числа 32:
32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.
Как видно, в этом разложении пять двоек. Это можно записать короче, а именно:
32 = 2⁵.
Выражение 2⁵ читается «два в степени пять» или «два в пятой степени». Вообще, любое рациональное число a можно возвести в любую натуральную степень n. Запись
aⁿ
имеет тот же смысл, что и произведение n сомножителей, каждый из которых равен а. При этом число a называется основанием степени, а число n —показателем степени. Рассмотрим, в качестве примера, такие равенства:
a⁴ = a ∙ a ∙ a ∙ a;
a³ = a ∙ a ∙ a;
a² = a ∙ a.
Здесь каждая последующая строка получается из предыдущей делением правой части на а и уменьшение показателя степени в левой части на единицу. Ничто не мешает нам продолжить выписывать равенства дальше, придерживаясь той же закономерности:
a¹ = a;
a⁰ = 1;

a⁻¹ =	1	;
	a

a⁻² =	1	;
	a ∙ a

a⁻³ =	1	;
	a ∙ a ∙ a

и так далее.
Таким образом, мы определили операцию возведения в степень aⁿ не только для натурального, но и для любого целого показателя n (надо только оговориться, что основание a не должно быть равно нулю).
Следует отметить, что в сложных выражениях возведение в степень имеет приоритет над умножением и делением (и, тем более, над сложением и вычитанием):
a ∙ bⁿ = a ∙ (bⁿ);
a / bⁿ = a / (bⁿ).
Новая операция обладает следующими очевидными свойствами:

(1) a⁻ⁿ =	1
	aⁿ

(2) aⁿ ∙ a^m = a^n+m

(3) (aⁿ)^m = aⁿ^∙^m

(4) (a ∙ b)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ

Здесь a и b — рациональные числа, не равные нулю, а n и m — произвольные целые числа. Проиллюстрируем эти свойства на примере, в котором n = −3, аm = 2.

(1) a⁻ⁿ =	a³	=	a³/a³	=	1	=	1	=	1	.
	1		1/a³		1/a³		a⁻³		aⁿ

(2) aⁿ∙a^m = a⁻³∙a²=	1	∙ a∙a =	1	= a⁻¹ = a^n+m.
	a∙a∙a		a

(3) (aⁿ)^m = (a⁻³)² =	1	∙	1	=	1	= a⁻⁶ = aⁿ^∙^m.
	a∙a∙a		a∙a∙a		a⁶

(4) (a∙b)ⁿ = (a∙b)⁻³ =	1	=	1	∙	1	= a⁻³b⁻³ = aⁿ∙bⁿ.
	a∙b∙a∙b∙a∙b		a³		b³

Примечательно, что число, обратное к числу a, можно представить в виде a⁻¹. Это дает дополнительную возможность записывать дроби в одну строчку:

a	= a ∙ b⁻¹ = b⁻¹ ∙ a.
b

Иногда возведение в степень записывают, используя в качестве бинарного оператора символ «^», называемый «крышечкой», или «домиком», или, совсем по-научному, «циркумфлексом»:
aⁿ = a^n.
Следует иметь в виду, что этот оператор не обладает ни свойствой коммутативности (перестановочности), ни свойством ассоциативности (сочетательности), так что в общем случае
(k^m) ≠ (m^k);
(k^m)^n ≠ k^(m^n).

» Что такое степень числа